Question

利用球面坐标计算三重积分

Answer 1

那些东西都是略去了高阶无穷小以后的近似值，不是可以严格推出的准确值！不要去看《高等数学》教材里的这些内容，这些东西纯粹是“捣浆糊”（上海时髦话），在讲平面里极坐标下面积元素的时候就在“捣”了，大多学生被糊弄过去了，在空间能被“捣”明白的就不多了。之所以我说是“捣浆糊”，是因为它根本没有证明被略去的是否真的是高阶无穷小！——以学习高等数学的学生水平，要证明也难。 如果你是教师，建议你还是先讲重积分的换元法，可以在讲极坐标计算二重积分之前就讲，这样得到极坐标下的面积元素、柱面坐标与球面坐标下的体积元素就非常容易了。虽然重积分的换元法一般没有列入教学计划，也没有列入考研大纲，但从教学时间而言，不会多花费时间的；从学生而言，毕竟可以多得到一些知识，否则反复“捣浆糊”化了不少时间，学生却一无所得，何苦呢？倒不如干脆让学生记住各种坐标下的面积元素、体积元素，把这些捣浆糊的内容略去，这还可以省去一些课堂教学时间呢！

Answer 2

上面回答没有符合问题的要求，他是利用二重积分计算体积，并且使用极坐标时极径r的取值范围，而你是希望用三重积分计算体积，并且使用球面坐标，解答如下：