Question

空间四边形ABCD中,P、Q、R分别是AB,AD,CD的中点，平面PQR交BC于点S，求证：四边形PQRS为平行四边形

Answer 1

如图，P，Q，R分别是三棱椎A-BCD的棱AC，BC，BD的中点，过三点P，Q，R的平面交AD于S．求证：四边形PQRS是平行四边形．
考点：直线与平面平行的判定,分析法和综合法,直线与平面平行的性质
专题：证明题,空间位置关系与距离
分析：证明AB∥平面PQRS，可得AB∥RS，再利用三角形中位线的性质，可得RS∥PQ，且RS=PQ，从而可得结论．
解答：证明：∵P为AC的中点，Q为BC的中点，
∴PQ∥AB，且PQ=
1
2
AB．…（1分）
∵PQ⊂平面PQRS，AB⊄平面PQRS，
∴AB∥平面PQRS．…（3分）
∵平面PQRS∩平面ABD=RS，AB⊂平面ABD，
∴AB∥RS．…（5分）
∵R为BD中点，
∴S为AD中点．…（6分）
∴RS∥AB，且RS=
1
2
AB．
∴RS∥PQ，且RS=PQ．
∴PQRS为平行四边形．…（8分）
点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．