Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，对称轴为x=2的抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一点C．（1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点M的坐标；（2）将（1）中的抛物线在x轴下方部分沿着x轴翻折，点M的对应点为M′．①判断点M′是否落在直线AB上，并说明理由；②若点P（m，n）是直线AB上的动点，点Q是（1）中抛物线上的动点，是否存在点P，使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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Answer 1

没人做呀？
通过直线求得A（3,0）B(0,3)，代入于是知道 c=3;
根据抛物线的对称性，得知C（1,0），得到a+b+c=a+b+3=0; 9a+3b+3=0;
推出：a=1,b=-4,c=3;
y=-x^2-4x+3=(x-2)^2-1. M(2,-1)

M'(2,1) 带入直线方程，符合要求，故应在直线上。

这样的平行四边形是存在的，

（1）当PQ位于MM’同侧时，存在平行四边形MM'PQ. 可以使用反证法。
假如存在平行四边形MM'PQ，那么MQ平行于M‘Q，亦即过M点的直线AB的平行线y=-x+1与抛物线有交点且不是M点，则存在这样的平行四边形。
解方程组【就是直线的平行线的方程与抛物线的方程组合成的方程组】的，x=1时满足要求，就是说当点Q与C重合时，存在这样的平行四边形，此时P(1,2);
(2)当PQ位于MM’异侧时，根据（1）的思路可知，当且仅当四边形MAM'C，.此时A与P重合。Q与C重合.