Question

如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，过点A作直线l，BM⊥l于点M，CN⊥l于点N。

（1)q求证MN=BM+CN；
（2）如图②，当直线l绕点A旋转与边BC相交于点D时（BD＞CD），其他条件不变，那么MN,BM,CN之间有何数量关系？请证明。

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

Answer 1

∵BM⊥MN
∴∠MBA+∠MAB=90°
∵∠BAC=90°
∴∠MAB+∠CAN=90°
∴∠MBA=∠CAN
又∵∠BMA=∠CNA
AB=AC
∴△AMB≌△ANC
∴AM=CN,AN=BM
∵MN=AM+AN
∴MN=BM+CN
第二题同样证明那两个三角形全等，在证明MN=BM-CN

追问

第二题能顺便告诉吗？

追答

∵∠BAC=90°
∴∠BAM+∠MAC=90°
∵BM⊥AN
∴∠ABM+∠BAM=90°
∴∠ABM=∠MAC
又∵AB=AC
∠AMB=∠CNA
∴△ABM≌△ACN
∴CN=AM
BM=AN
∵MN=AN-AM
∴MN=BM-CN

Answer 2

（1）∵∠MAB+∠CAN=90，∠MAB+∠MBA=90，∴∠MBA=角CAN∵AB=AC，角BMA=∠CNA=90.所以三角形MAB全等NAC∴CN=MA，BM=AN。又MA+AN=MN∴MN=BM+CN；（2）CN+MN=BM理由如下因为∠ANC+∠BAM=90，∠ANC+∠ACN=90所以∠bam=∠acn又∠anc=角bma，ab=ac所以anc全等amb所以cn=ma，an=bm因为an=am+mn所以CN+MN=BM望采纳O(∩_∩)O谢谢