(1)作BP⊥AC于P，
因为AB=2AF+根号3·CE
同时AB=AC=2AF+2FP
所以2FP=根号3·CE
所以FP/CE=根号3/2
由于：BP/BC=根号3/2=FP/CE
且 ∠BPF=∠BCE=90°
所以△BPF∽△BCE
所以∠FBP=∠EBC
从而：∠FBD=∠CBP=30°
(2)以AC为边向△ABC外作等边三角形，顶点为M
延长CH交AM于R，
过G作GN⊥BC交BC的延长线于N，连MG、MH、EF
由第一问，△BPF∽△BCE
所以：BF/BE=根号3/2，
又因为∠FBD=30°
所以∠BFE=90°
所以：BE=2EF
因为BF=FG
所以：∠FGB=∠FBG=30°
∠EFG=30°
从而：EF=EG
所以：BE=2EG
因为CE//NG
∴ CN=1/2·BC=RM
∴ M、G、N三点共线，且MN//RC
根据对称性，△AFB≌△AFM
所以BF=FM=FG
在Rt△AMG中，H是斜边AG的中点，所以MH=HA=HG
又∵ FH=FH
∴ △FHG≌△FHM
延长FH交MN于Q，显然FQ⊥MN
∴ FH⊥HC
即△FHC是直角三角形，
∵ ∠FCH=30°
所以CH=根号3·FH
本题用四点共圆来证明确实比较简单，但考虑到现行初中大纲中已经不允许使用四点共圆等结论，所以我制作了这一证明，希望能够抛砖引玉。过程自己也觉得略有繁琐，不知楼下各位有没有更好的想法。我题中辅助三角形的作法是解决这一类问题比较常规的思路，希望能够帮到楼主。
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第一问楼上“沉思者20100301”解答的很好，就不赘述了（实在想要我的解答可追问下，我再发给你），第二问需要做辅助线并考虑四点共圆问题，辅助线如下。
连接EF，由第一问知道∠DBF=30°，再由EC⊥BC知∠ECF=30°，
于是B、C、E、F四点共圆
从而EF⊥BF，进一步可知EF=EG,于是BE=2EF=2EG
过G作GM⊥BC于M，那么BC：CM=BE：EG=2：1
【这告诉了我们CM长是定值是BC长的一半，即M点的位置不随G的变化而变动】
取BC中点L，那么AL⊥BC，于是AH：HG=LC：CM=1
所以H是AG的中点
取BG的中点K，连接KH，那么HK//AB，于是∠EHK=30°,而∠EFK=30°，所以∠EHK=∠EFK
由此得到E、H、F、K四点共圆
所以∠FHE=∠FKE=90°，所以FH⊥HC，
再由∠ECF=30°知HC=√3HF
第二问呢？
