Question

已知F(x)是定义在R上的奇函数,当o≤x≤1时,f(x)=x^2,当x>0时,f(x+1)=f(x)+f(1)，

,若直线y=kx与函数y=f(x)的图像恰有5个不同公共点，则实数k的值为？

Answer 1

解：
当0≤x≤1时，f(x)=x^2；
当1≤x≤2时，0≤x-1≤1，f(x-1)=(x-1)^2，f(1)=1^2=1，所以当x≥1时，f(x)=(x-1)^2+1；
当2≤x≤3时，1≤x-1≤2，0≤x-2≤1，f(x-1)=(x-2)^2+1，f(x)=(x-2)^2+2；
…………
当n≤x≤(n+1)时，f(x)=(x-n)^2+n。
即f(x)=(x-[x])^2+[x]，这里[x]=INT(x)=x的整数部分。

当x<0时，-x>0，所以
f(-x)=(-x-[-x])^2+[-x]，
因为f(x)是奇函数，所以
f(x)=-{(-x-[-x])^2+[-x]}=-(x-[x+1])^2-[x+1]

y=kx与y=f(x)在原点处相交，由奇函数的对称性，在x>0时再有两个交点即可。

由y=kx和y=(x-2)^2+2，得：
kx=(x-2)^2+2，即x^2-(k+4)x+6=0，
△=(k+4)^2-24，当k=-4±2√6时△=0，得：
k=-4+2√6时，直线y=kx与曲线y=f(x)在[2，3]上相切；
由y=kx和y=(x-1)^2+1，得：
kx=(x-1)^2+1，即x^2-(k+2)x+2=0，
△=(k+2)^2-8，当k=-2±2√2时△=0，得：
k=-2+2√2时，直线y=kx与曲线y=f(x)在[1，2]上相切；
所以
k∈(-2+2√2，-4+2√6）时，直线y=kx与曲线y=f(x)在(0，+∞)上有两个交点
由奇偶性，在(-∞，0)上也有两个交点，连同坐标原点，共有5个交点。

结论：
实数k的值为-2+2√2和-4+2√6。

追问

到底k值为多少？这是一个数，不是求范围。

追答

明白了？

追问

不明白啊

追答

k为两个数：
k1=-2+2√2；
k2=-4+2√6。

追问

按照你的说法，k∈(-2+2√2，-4+2√6）时，共有5个交点。这是开区间，这两个数取不到的呀

追答

就取边界点。

Answer 2

解出[1,2]区间上f(x)的解析式f(x)=（x-1）^2+1，过原点作这段函数的切线，切线斜率就为k,结果为2*根号2-1