Question

高数问题：设f(x)在【a,b】上连续，在(a,b)内f''(x)>0,证明：

F（x）=(f(x)-f(a))/(x-a)在（a,b】上是单调增加的。 请给出详细的证明，谢谢！！！

Answer 1

求出F’（x），只要F’（x）>0，则得到F（x）在（a，b】上是单调增加的
求得F’（x）=[f’（x）*（x-a）-f（x）+f（a）]/（x-a）^2，则F’（x）的符号由分子决定
令分子是G（x）=f（x）*（x-a）-f（x）+f（a），求得G’（x）=f’’（x）*（x-a）>0
则得到G（x）在【a，b】上是单调增加的，于是G（x）>G（a）=0，x∈（a，b】
因为分子G（x）>0，所以F’（x）的符号是>0，所以F（x）在（a，b】上是单调增加的。证毕。