Question

矩阵问题

对于任意n阶矩阵，如果其有r个非零特征值，则其秩为r，这句话对吗？可否举个反例。
我知道，上下三角形矩阵的特征值一定是主对角线上的元素，请问这句话对于副对角线型还成立吗？为什么

Answer 1

对于任意n阶矩阵，如果其有r个非零特征值(此处m重特征值记为m个)，则其秩为r

以上说法正确。

下面的说法供参考：
上下三角形矩阵的特征值一定是主对角线上的元素，这句话对于副对角线型成立否？
试一试：
将副对角线型乘上一个变换矩阵T，使之变换主对角线型，研究一下？

追问

应该是不正确的吧

追答

对于任意n阶矩阵，如果其有r个非零特征值(此处m重特征值记为m个)，则其秩为r以上说法正确。
另一个我建议你研究一下。

Answer 2

这句话不对的吧。
非零特征值可以是相同的。
就拿n阶单位矩阵来说，只有一个非零特征值，但是其秩序为n。

追问

单位矩阵有n重非零特征值，包括重复值啊

追答

如果把重复的也包括的话，应该是对的吧。
非零特征值的数量代表着秩的数量。

追问

我认为应该不对，如果加上实对称矩阵条件就对了，不过一时还没想到反例