Question

已知向量m=（sinx，-1），n=（根号3cosx，-1/2），函数f（x）=m^2+m•n-2

已知向量m=（sinx，-1），n=（根号3cosx，-1/2），函数f（x）=m^2+m•n-2。三角形ABC中a，b，c成等比数列，角B为内角，且f（B）=1，求1/tanA+1/tanC

Answer 1

已知向量m=(sinx，-1)，n=(根号3cosx，-1/2)，函数f（x）=m^2+m•n-2。三角形ABC中a，b，c成等比数列，角B为内角，且f（B）=1，求1/tanA+1/tanC

解析：∵向量m=（sinx，-1），n=（根号3cosx，-1/2）
∴向量m*向量m=(sinx)^2+1；向量m*向量n=√3/2sin2x+1/2；
∴f(x)=m^2+m•n-2=(sinx)^2+√3/2sin2x+3/2-2
=1/2(1-cos2x)+√3/2sin2x+3/2-2
=√3/2sin2x-1/2cos2x)+2-2
=sin(2x-π/6)
令f(B)=sin(2B-π/6)=1
sin(2B-π/6)-1=0==>2B-π/6=π/2==>B=π/3
1/tanA+1/tanC=cosA/sinA+cosC/sinC=sin(A+C)/(sinAsinC)
∵a，b，c成等比数列，∴b^2=ac
由正弦定理得(sinB)^2=sinAsinC，
∴1/tanA+1/tanC=sin(A+C)/(sinAsinC)=sinB/(sinB)^2=1/sinB=2√3/3