Question

如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH,连接EF，FG，GH，

如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH,连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形.
(2)设AB=a，∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？

Answer 1

根据菱形性质的：

（1）证明：∵DG=DH，

∴∠DHG=∠DGH=180°−∠D    2    同理，∠CGF=180°−∠C    2    ，

∴∠DGH+∠CGF=360°−(∠D+∠C)    2    ，

又∵菱形ABCD中，AD∥BC，

∴∠D+∠C=180°，

∴∠DGH+∠CGF=90°，

∴∠HGF=90°，

同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，

∴四边形EFGH是矩形；

（2）AB=a，∠A=60°，则菱形ABCD的面积是：√3/2 a2，

设BE=x，则AE=a-x，

则△AEH的面积是：3(a−x)2/4    ，

△BEF的面积是：√3x2/ 4    ，

则矩形EFGH的面积y=√3/2 a2-√3(a−x)2/2    

扩展资料：

性质

在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形（rhombus）。

性质：

菱形具有平行四边形的一切性质；

菱形的四条边都相等；

菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角；

菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线；

菱形是中心对称图形；

判定

在同一平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

四条边均相等的四边形是菱形；

对角线互相垂直平分的四边形；

两条对角线分别平分每组对角的四边形；

有一对角线平分一个内角的平行四边形；

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。

菱形的一条对角线必须与x轴平行，另一条对角线与y轴平行。不满足此条件的几何学菱形在计算机图形学上被视作一般四边形。

参考资料：百度百科——菱形

Answer 2

解答：（1）证明：∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH=
180°∠D
2
，
同理，∠CGF=
180°∠C
2
，
∴∠DGH+∠CGF=
360°(∠D+∠C)
2
，
又∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠HGF=90°，
同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是矩形；

（2）AB=a，∠A=60°，则菱形ABCD的面积是：
3
2
a2，
设BE=x，则AE=a-x，
则△AEH的面积是：
3
(ax)2
4
，
△BEF的面积是：
3
x2
4
，
则矩形EFGH的面积y=
3
2
a2-
3
(ax)2
2
-
3
2
x2，
即y=-
3
x2+
3
ax，
则当x=
3
a
2
3
=
a
2
时，函数有最大值．
此时BE=
a
2
．

追答

Answer 3

证明⑴:∵ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=DA ,又BE=BF=DG=DH ,∠GDH=∠EBF ,∠HAE=∠EBF ,∴△AEH≌△FCH ,△BEF≌△DGH .∴HE=GF ,HG=EF ，∴EFGH 为平行四边形。∠D+2∠DHG=180°,∠D =2∠AHE (∵∠D +∠A =180°,2∠AHE +∠A =180°),即:2∠DHG +2∠AHE =180°,∠DHG +∠AHE =90°,∴∠GHE =90°,∴四边形EFGH 为矩形。
解⑵:∵∠A =60°,又AE =AH ,∴△AEH 为等边△，EH =AE ,设BE =x ,则HE=AE=a-x ,∠B =180°-∠A =120°,∠BEF =∠BFE =1/2(180°-120)=30°,EF =√3BE =√3x ,矩形EFGH 的面积S =EF·HE =√3x (a -x )=-√3(x- a/2)²+(√3/4)a²。当BE=x=a/2时，矩形EFGH 的面积最大，最大面积为√3/4a²。

Answer 4

追答

蓝色是正确的

Answer 5

图呢