Question

设a,b,c是三角形ABC的三边长,且a≥b≥c,为什么a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c)?

详细一点，谢谢!!!

Answer 1

a(b+c-a)-b(c+a-b)
=ab+ac-a^2-(bc+ab-b^2)
=(a-b)c+(b+a)(b-a)
=(a-b)(c-b-a)
在三角形中 a>=b
c<b+a，即上式(a-b)(c-b-a)<=0
所以有 a(b+c-a)<=b(c+a-b)，同理可证明后面一个试子。

Answer 2

证明：∵a,b,c是三角形的三边长c(a-b)^2+b(a-c)^2+a(b-c)^2≥0
c(a^2+b^2-2ab)+b(a^2+c^2-2ac)+a(c^2+b^2-2bc)≥0
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+ba^2+bc^2-6abc≥0
bbc+cbc-abc+cac+aac-abc+aab+bab-abc≥3abc
两边同时除以abc
∴(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>3