Question

一道曲面积分高斯公式的题目

Answer 1

(1)
设
原积分=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
由于满足R'y=Q'z，P‘z=R'x，Q'x=P'y，

所以原积分在任何一个包含原点的闭曲面上的积分都相等。
取任意球面α：x^2+y^2+z^2=a^2
原积分=∫∫α Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(1/a^3)∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy (高斯定理)
=(1/a^3)* [3∫∫∫dV]
=(1/a^3)* 3*(4πa^3/3)
=4π

(2)
抛物面在xoy面上的投影为(x-2)^2/16+(y-1)^2/9=1
可见原点是被包含在内的。
取一个尽量大的（或者尽量小的）球面x^2+y^2+z^2=a^2的上班球面α，
取α和抛物面∑，以及xoy平面被α和∑所截得部分γ，所围成的闭曲面。设为β
因为β不包含原点，由于满足R'y=Q'z，P‘z=R'x，Q'x=P'y，
所以
原积分=∫∫∑ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
=∫∫(α+γ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy (γ上满足z=0，所以在它上面的积分为0)
=∫∫α Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
=2π