Question

已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}．（1）求函数f（

已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）= f(x) x -4lnx 的零点个数．

Answer 1

（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}， ∴f（x）=a（x+1）（x-3）=a[（x-1） 2 -4]（a＞0） ∴f（x） min =-4a=-4 ∴a=1 故函数f（x）的解析式为f（x）=x 2 -2x-3 （2）g（x）= f(x) x -4lnx = x- 3 x -4lnx-2（x＞0）， ∴g′（x）= (x-1)(x-3) x 2 x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下： x （0，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞） g′（x） + 0 - 0 + g（x） 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加 当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）=-4＜0； 又g（e 5 ）= e 5 - 3 e 5 -20-2＞2 5 -1-22=9＞0 故函数g（x）只有1个零点，且零点 x 0 ∈(3， e 5 )