Question

（2013?历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点p1，p2，…，p

（2013?历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD边上有2013个不同的点p1，p2，…，p2013，过pi（i=1，2，…，2013）作PiEi⊥AB于Ei，PiFi⊥AD于Fi，则P1E1+P1F1+P2E2+P2F2+…P2013E2013+P2013F2013的值为______．

Answer 1

连接P₁A，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AO=OC=

1

2

AC=

1

2

×2=1，AC⊥BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，
∵S_△ABD=S △ABP1+S △ADP1，
∴

1

2

×BD×AO=

1

2

AB×P₁E₁+

1

2

×AD×P₁F₁，
∴P₁E₁+P₁F₁=AO=1，
同理P₂E₂+P₂F₂=P₃E₃+P₃F₃=P₄E₄+P₄F₄=…=AO=1，
∴P₁E₁+P₁F₁+P₂E₂+P₂F₂+…P₂₀₁₃E₂₀₁₃+P₂₀₁₃F₂₀₁₃的值为2013×1=2013，
故答案为：2013．