Question

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（Ⅰ）求数列{an}

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）记Tn=anb1+an-1b2+an-2b3+…+a1bn，求Tn．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由条件a₄+b₄=27，s₄-b₄=10，
得方程组

2+3d+3q3＝27 8+6d?2q3＝10

，
解得

d＝3 q＝2

，
故a_n=3n-1，b_n=2ⁿ，n∈N^*．
（Ⅱ）方法一，由（Ⅰ）得，T_n=2a_n+2²a_n-1+2³a_n-2+…+2ⁿa₁；   ①；
2T_n=2²a_n+2³a_n-1+…+2ⁿa₂+2ⁿ⁺¹a₁；     ②；
由②-①得，T_n=-2（3n-1）+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ+2ⁿ⁺²
=

12(1?2n?1)

1?2

+2ⁿ⁺²-6n+2
=10×2ⁿ-6n-10．（n∈N^*）．
方法二：数学归纳法，
③当n=1时，T₁+12=a₁b₁+12=16，-2a₁+10b₁=16，故等式成立，
④假设当n=k时等式成立，即T_k+12=-2a_k+10b_k，
则当n=k+1时有，
T_k+1=a_k+1b₁+a_kb₂+a_k-1b₃+…+a₁b_k+1
=a_k+1b₁+q（a_kb₁+a_k-1b₂+…+a₁b_k）
=a_k+1b₁+qT_k
=a_k+1b₁+q（-2a_k+10b_k-12）
=2a_k+1-4（a_k+1-3）+10b_k+1-24
=-2a_k+1+10b_k+1-12．
即T_k+1+12=-2a_k+1+10b_k+1，因此n=k+1时等式成立．
③④对任意的n∈N^*，T_n+12=-2a_n+10b_n成立．
∴T_n=-2a_n+10b_n-12=10×2ⁿ-6n-10．（n∈N^*）．

Answer 2

(1)设数列{an}的公差是d,{bn}的公比是q,依题意
2+3d+2q^3=27,①
8+6d-2q^3=10,②
①+②，10+9d=37,d=3,
代入①，11+2q^3=27,q^3=8,q=2.
∴an=2+3(n-1)=3n-1,
bn=2^n.
(2)Tn=2*2+5*2^2+8*2^3+……+（3n-1)*2^n,③
∴2Tn=
2*2^2+5*2^3+……+（3n-4)*2^n+(3n-1)*2^(n+1),④
③-④，-Tn=4+3(2^2+2^3+……+2^n)-(3n-1)*2^(n+1)
=4-3[2^2-2^(n+1)]-(3n-1)*2^(n+1),
=-8-(3n-4)*2^(n+1),
∴Tn=8+(3n-4)*2^(n+1),
∴Tn-8=a<n-1>b<n+1>.