Question

已知函数 f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；（2）若

已知函数 f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为-3，求a的值；（3）若f（x）在x∈（1，e）有极值．函数g（x）=x3-x-2，证明：?x1∈（1，e），?x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）成立．

Answer 1

（1）解：易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=

1?x

x

，令f′（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
f（x）_max=f（1）=-1．
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为-1．
（2）解：∵f′（x）=a+

1

x

，x∈（0，e]，

1

x

∈[

1

e

，+∞）
①若a≥-

1

e

，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0，不合题意．
②若a＜

1

e

，则由f′（x）＞0得a+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

a

由f′（x）＜0得a+

1

x

＜0，即-

1

a

＜x≤e．
从而f（x）在（0，-

1

a

）上增函数，在（-

1

a

，e）为减函数
∴f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）
令-1+ln（-

1

a

）=-3，则ln（-

1

a

）=-2
∴-

1

a

=e^-2，即a=-e²．∵-e²＜-

1

e

，∴a=-e²为所求．
（3）证明：由g（x）=x³-x-2求导可得g'（x）=3x²-1
令g'（x）=3x²-1=0，解得x=±

3

3

令g'（x）=3x²-1＞0，解得x＜-

3

3

或x＞

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