Question

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差依次构成一个等比数列，则称这个数列为差等比数列，如

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差依次构成一个等比数列，则称这个数列为差等比数列，如果数列{an}满足an+1=3an-2an-1（n≥2），a1=1，a2=3．（Ⅰ）求证：数列{an}是差等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）Sn是数列{an}的前n项和，如果对任意的正整数n（n≥4），不等式Sn≤kan-9k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：由a_n+1=3a_n-2a_n-1，得a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），
∵a₂-a₁=2≠0，
∴

an+1?an

an?an?1

＝2，
∴数列{a_n}是差等比数列；
（Ⅱ）解：∵数列{a_n+1-a_n}是等比数列，首项a₂-a₁=2，公比为2，
∴an+1?an＝2×2n?1＝2n．
则a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1．
∴an＝2n?1；
（Ⅲ）解：Sn＝(21?1)+(22?1)+…+(2n?1)
=(1+22+…+2n)?n＝

1?2n+1

1?2

?n
=2ⁿ⁺¹-2-n．
由S_n≤ka_n-9k，得2ⁿ⁺¹-2-n≤k（2ⁿ-10），
∵n≥4，
∴2ⁿ-10＞0，
则k≥

2n+1?2?n

2n?10

＝2+

18?n

2n?10

．
令g(n)＝2+

18?n

2n?10

，
知n≥4时，g(n)max＝g(4)＝

13

3

，
∴k≥

13

3

．