Question

如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x-6y+m=0，直线l的方程为：x+2y-3=0．（1）求m的取值范围；（2）若圆与直

如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x-6y+m=0，直线l的方程为：x+2y-3=0．（1）求m的取值范围；（2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．

Answer 1

（1）将圆的方程化为标准方程为：(x+

1

2

)2+(y?3)2＝

37

4

?m，
依题意得：

37

4

?m＞0，即m＜

37

4

，
故m的取值范围为（-∞，

37

4

）；
（2）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则k_OP?k_OQ=-1，即

y1

x1

?

y2

x2

＝?1，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
又因为x₁=3-2y₁，x₂=3-2y₂，
所以（3-2y₁）（3-2y₂）+y₁y₂=0，即5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0①，
将直线l的方程：x=3-2y代入圆的方程得：5y²-20y+12+m=0，
所以y₁+y₂=4，y1y2＝

12+m

5

，
代入①式得：5×

12+m

5

?6×4+9＝0，解得m=3，
故实数m的值为3．