Question

已知关于x的一元二次方程（x﹣m） 2 +6x=4m﹣3有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为

已知关于x的一元二次方程（x﹣m） 2 +6x=4m﹣3有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x 1 与x 2 ，求代数式x 1 ?x 2 ﹣x 1 2 ﹣x 2 2 的最大值．

Answer 1

解：（1）由（x﹣m） 2 +6x=4m﹣3，得x 2 +（6﹣2m）x+m 2 ﹣4m+3=0， ∴△=b 2 ﹣4ac=（6﹣2m） 2 ﹣4×1×（m 2 ﹣4m+3）=﹣8m+24。 ∵方程有实数根，∴﹣8m+24≥0，解得 m≤3。 ∴m的取值范围是m≤3。 （2）∵方程的两实根分别为x 1 与x 2 ，由根与系数的关系，得 ∴x 1 +x 2 =2m﹣6，x 1 ·x 2 = m 2 ﹣4 m＋3。 ∴x 1 ?x 2 ﹣x 1 2 ﹣x 2 2 ="3" x 1 ?x 2 ﹣（x 1 +x 2 ） 2 =3（m 2 ﹣4m+3）﹣（2m﹣6） 2 =﹣m 2 +12m﹣27 =﹣（m﹣6） 2 +9。 ∵m≤3，且当m＜6时，﹣（m﹣6） 2 +9的值随m的增大而增大， ∴当m=3时，x 1 ?x 2 ﹣x 1 2 ﹣x 2 2 的值最大，最大值为﹣（3﹣6） 2 +9=0。 ∴x 1 ?x 2 ﹣x 1 2 ﹣x 2 2 的最大值是0。

（1）将原方程转化为关于x的一元二次方程，由于方程有实数根，故根的判别式大于0，据此列不等式解答即可； （2）将x 1 ?x 2 ﹣x 1 2 ﹣x 2 2 化为两根之积与两根之和的形式，将含m的代数式代入，利用二次函数的最值求解即可。