Question

如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，（1）求证：DP=DQ；（2）过P

如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，（1）求证：DP=DQ；（2）过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：如图，过点P作PM∥BC，则∠DPM=∠Q，
∵△ABC为等边三角形，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=PM，
又∵AP=CQ，
∴PM=CQ，
在△DPM和△DQC中，

∠DPM＝∠Q ∠PDM＝∠QDC PM＝CQ

，
∴△DPM≌△DQC（AAS），
∴DP=DQ；

（2）∵△DPM≌△DQC，
∴DM=DC，
∵PE⊥AC，△APM是等边三角形，
∴AE=EM，
∴DE=DM+EM=

1

2

AC，
∵等边三角形ABC的边BC=4，
∴AC=4，
∴DE=

1

2

×4=2．