Question

（2013?惠州模拟）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．（Ⅰ）求

（2013?惠州模拟）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；（Ⅱ）求二面角C-BF-D的正切值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF．
∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点，∴OF∥PA．
∵OF?平面BFD，PA?平面BFD，∴PA∥平面BFD．

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC．∵OF∥PA，∴OF⊥AC．
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．∵OF∩BD=O，
∴AC⊥平面BDF．
作OH⊥BF，垂足为H，连接CH，则CH⊥BF，
所以∠OHC为二面角C-BF-D的平面角．
∵PA=AD=AC，
∴OF＝

1

2

PA，BO＝

3

2

PA，BF＝

BO2+OF2

＝PA．
在Rt△FOB中，OH=

OF?BO

BF

＝

3

4

PA，
∴tan∠OHC＝

OC

OH

＝

1 2 PA

3 4 PA

＝

2 3

3

．
∴二面角C-BF-D的正切值为

2 3

3