Question

（2011?梅州）如图，已知抛物线y=x2-4x+3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．（1）对于任意实数m，点M（m，-

（2011?梅州）如图，已知抛物线y=x2-4x+3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．（1）对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上？请说明理由；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）假如点M（m，-2）在该抛物线上，
∴-2=m²-4m+3，
∴m²-4m+5=0，
∴△=（-4）²-4×1×5=-4＜0，
∴此方程无实数解，
∴点M（m，-2）不会在该抛物线上；

（2）过点C作CH⊥x轴，交x轴与点H，连接CA、CB，
如图，当y=0时，x²-4x+3=0，x₁=1，x₂=3，由于点A在点B左侧，
∴A（1，0），B（3，0）
∴OA=1，OB=3，
∴AB=2
∵y=x²-4x+3
∴y=（x-2）²-1，
∴C（2，-1），
∴AH=BH=CH=1
在Rt△AHC和Rt△BHC中，由勾股定理得，
AC=

2

，BC=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）存在这样的点P．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，
∴点P的纵坐标是1，
∵点P在抛物线y=x²-4x+3上，
∴当y=1时，即x²-4x+3=1，解得x₁=2-

2

，x₂=2+

2

，
∴点P的坐标是（2-

2

，1）或（2+

2

，1）．