Question

对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]?D，使f（x）

对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．（Ⅰ）求“和谐”函数y=x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数f(x)＝x+4x(x＞0)是否为“和谐”函数？并说明理由．（Ⅲ）若函数g(x)＝x+4+m是“和谐”函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为y=x³是单调递增函数，
所以有

a3＝a b3＝b a＜b

?

a＝?1 b＝1

a＝?1 b＝0

a＝0 b＝1

，
即[a，b]=[-1，1]或[a，b]=[-1，0]或[a，b]=[0，1]．
（Ⅱ）函数f(x)＝x+

4

x

在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上不单调，不是“和谐”函数．
（Ⅲ）若g(x)＝

x+4

+m是“和谐”函数．
设-4≤x₁＜x₂，
则g(x1)?g(x2)＝

x1+4

?

x2+4

＝

(x1+4)?(x2+4)

x1+4 + x2+4

＜0，
所以g(x)＝

x+4

+m是单调递增函数．
若它是“和谐”函数，则必具备方程x＝

x+4

+m有两个不相同的实数解，
即方程x²-（2m+1）x+m²-4=0有两个不同的实数解且同时大于或等于-4和m．若令h（x）=x²-（2m+1）x+m²-4，
则

△＞0 2m+1 2 ＞?4 h(?4)≥0 x≥m

?m∈(?

17

4

，?4]．
另解：方程x＝

x+4

+m有两个不相同的实数解，
等价于两函数y₁=x-m与y2＝

x+4

的图象有两个不同的交点，当直线过（-4，0）时，m=-4；
直线与抛物线相切时m＝?

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4

，∴