Question

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]是单调的；②当定义域是[m，

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域是[2m，2n]，则称[m，n]是该函数的“倍值区间”．若函数f（x）=x+1+a存在“倍值区间”，则a的取值范围是（　　）A．（-178，+∞）B．[-178，+∞）C．（-178，-1]D．（-178，-2]

Answer 1

∵函数f（x）=

x+1

+a为单调递增函数，
若函数f（x）=

x+1

+a存在“倍值区间”，
则f（m）=2m，且f（n）=2n，
故m、n是方程

x+1

+a=2x的两个实数根，
即a=2x-

x+1

在[-1，+∞）上有两个不等的实根，
令y=2x-

x+1

，则y′=2-

1

2 x+1

，
令y′=2-

1

2 x+1

=0，则x=-

15

16

，
当x∈[-1，-

15

16

）时，y′＜0，当x∈（-

15

16

，+∞）时，y′＞0，
故当x=-

15

16

时，y=2x-

x+1

取最小值?

7

8

，
又∵当x=-1时，y=2x-

x+1

=-2，

lim

x→∞

2x-

x+1

=+∞，
故若a=2x-

x+1

在[-1，+∞）上有两个不等的实根，
a∈（-

17

8

，-2]，
故选：D

Answer 2

解：由题意可得函数f（x）=a+1a-1x(a＞0)在区间[m，n]是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），则f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程a+1a-1x=x的两个同号的实数根，
即方程ax2-（a+1）x+a=0有两个同号的实数根，注意到mn=aa=1＞0，
故只需△=（a+1）2-4a2＞0，解得-13＜a＜1，
结合a＞0，可得0＜a＜1
故选A