Question

设f（x）是连续函数，（1）利用定义证明函数F（x）=∫x0f（t）dt可导，且F′（x）=f（x）．（2）当f（x）

设f（x）是连续函数，（1）利用定义证明函数F（x）=∫x0f（t）dt可导，且F′（x）=f（x）．（2）当f（x）是以2为周期的周期函数时，证明函数G（x）=2∫0xf（t）dt-x∫02f（t）dt也是以2为周期的周期函数．

Answer 1

（1）∵F(x)＝

∫

x 0

f(t)dt，其中f（x）是连续函数
∴F′(x)＝

lim

△x→0

F(x+△x)?F(x)

△x

=

lim

△x→0

∫ x+△x x f(t)dt

△x

积分中值定理

.

lim

△x→0

f(ξ)△x

△x

其中ξ∈（x，x+△x），当△x→0时，ξ→x
∴F′(x)＝f(x)

lim

△x→0

△x

△x

＝f(x)
（2）∵G（x）=2∫₀^xf（t）dt-x∫₀²f（t）dt
∴G(x+2)＝2

∫

x+2 0

f(t)dt?(x+2)

∫

2 0

f(t)dt
∴G(x+2)?G(x)＝2

∫

x+2 x

f(t)dt?2

∫

2 0

f(t)dt=
∴[G（x+2）-G（x）]′=2[f（x+2）-f（x）]
而f（x）是以2为周期的周期函数
∴f（x+2）-f（x）=0
∴[G（x+2）-G（x）]′=0
∴G（x+2）-G（x）=C
又当x=0时，G(2)?G(0)＝2

∫

2 0

f(t)dt?2

∫

2 0

f(t)dt＝0
∴C=0
即G（x）=G（x+2）
∴G（x）是以2为周期的周期函数