Question

如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．

如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC． （1）判断AP与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求PD的长．

Answer 1

（1）相切；（2）

试题分析：（1）连接OA，先根据圆周角定理求得∠AOC的度数，再根据圆的基本性质求得∠ACP、∠CAO的度数，即可求得∠AOP的度数，再结合AP＝AC可求得∠P的度数，即可作出判断； （2）连接AD，由CD是⊙O的直径可得∠CAD＝90°，再根据30°角的正切函数可求得AD的长，由∠ADC＝∠B＝60°，可求得∠PAD的度数，从而可以求得结果． （1）连接OA ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°， 又∵OA＝OC， ∴∠ACP＝∠CAO＝30°， ∴∠AOP＝60°， ∵AP＝AC， ∴∠P＝∠ACP＝30°， ∴∠OAP＝90°， ∴OA⊥AP， ∴AP是⊙O的切线； （2）连接AD ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD＝90°， ∴AD＝AC?tan30°＝3× ＝ ， ∵∠ADC＝∠B＝60°， ∴∠PAD＝∠ADC－∠P＝60°－30°＝30°， ∴∠P＝∠PAD， ∴PD＝AD＝ ． 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．