Question

如图，一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动，并使得一条直角边始终经过B点

如图，一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动，并使得一条直角边始终经过B点。 （1）如图1，当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点， = __________；（2）如图2，当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时， = __________；（3）如图3或图4，当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时，请你在图3或图4中任选一种情形，求 的值，并说明理由

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Answer 1

解：（1）1；        （2）1；        （3）如图3，       过点P作PN⊥AB，垂足N在AB的延长线上，PN交CQ于点M       在正方形ABCD中，AB∥CD       ∴∠PMQ=∠N=∠CBN=90°        ∴CBNM是矩形       ∴CM=BN ，易证△CMP是等腰直角三角形        ∴PM=CM=BN，       又∠1=∠PBN=90°-∠BPN       ∴△PMQ≌△BNP(ASA)        ∴PQ=PB       ∴       如图4，       过点P作PN⊥AB，垂足N在BA的延长线上，PN的延长线交CQ于点M，       在正方形ABCD中，AB∥CD，       ∴∠PMC=∠PNB=∠CBN=90°，        ∴CBNM是矩形，       ∴CM=BN，易证△CMP是等腰直角三角形，       ∴PM=CM=BN，       又∠1=∠2=90°-∠BPN，       ∴△BNP≌△PMQ （ASA），       ∴PB=PQ       ∴