Question

已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x 1 ，x 2 ∈D，均有f（x 1 ?x 2 ）=f（x 1

已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x 1 ，x 2 ∈D，均有f（x 1 ?x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ），且当x＞1时，f（x）＞0；（1）求f（1）与f（-1）的值； （2）判断函数的奇偶性并证明；（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（4）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）≤2．

Answer 1

（1）令x 1 =x 2 =1，代入f（x 1 ?x 2 ）=f（x 1 ）+f（x 2 ）可得f（1）=0； 令x 1 =x 2 =-1，则有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）-f（1）=0，解得：f（-1）=0． （2）令x 1 =x，x 2 =-1，则有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x）， 所以函数f（x）是偶函数． （3）设x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），并且x 1 ＜x 2 ，则有 x 2 x 1 ＞1 ，f（ x 2 x 1 ）＞0， 所以f（x 2 ）= f( x 2 x 1 ? x 1 ) = f( x 2 x 1 )+f( x 1 )＞f( x 1 ) ， 所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数． （4）由题意可得：f（16）=f（4×4）=2f（4）=2， 所以由f（3x+1）≤2可得：f（3x+1）≤f（16）， 因为函数f（x）为偶函数， 所以有f（-x）=f（x）=f（|x|），即f（|3x+1|）≤f（16）， 又因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数， 所以|3x+1|≤16，并且3x+1≠0， 解得： [- 17 3 ，- 1 3 )∪(- 1 3 ，5] ．