Question

如图，点E是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）求证：△AEB≌△AED；（2）延长BE交AD于点F，若

如图，点E是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）求证：△AEB≌△AED；（2）延长BE交AD于点F，若DE⊥CD于点D，且sin∠ADE=12．①求证：BF⊥AD．②若EF=1，点P为线段AC上一动点，设AP=a，试问：当a为何值时，△AFP与△ADE相似？

Answer 1

（1）证明：连接BD，
∵E是菱形ABCD对角线AC上的一点，
∴AC垂直平分BD，则DE=BE，
在△AEB和△AED中

AB＝AD AE＝AE BE＝DE

，
∴△AEB≌△AED；

（2）①证明：∵DE⊥CD于点D，
∴∠ADE+∠DAB=180°-90°=90°，
∵△AEB≌△AED，
∴∠ABF=∠ADE，
∴∠DAB+∠ABF=90°，
∴BF⊥AD；
②∵sin∠ADE=

1

2

，EF=1，∠DFE=90°，
∴DE=BE=2，∠ADE=30°，
∴∠DAB=60°，
∴DF=AF=

1

2

AD=

3

2

，
当△AFP∽△AED时，

AF

AE

=

AD

AP

，
∴

3 2

2

=

3

AP

，
解得：AP=4，
当△AFP′∽△ADE时，

AP′

AE

=

AF

AD

，
∴

AP′

2

=