Question

已知函数f（x）=alnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线g（x）=x在交点处有共同的切线，求a的值；（Ⅱ）

已知函数f（x）=alnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线g（x）=x在交点处有共同的切线，求a的值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有f（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）在（I）的条件下，求证：xf（x）＞xe1?x2-1．

Answer 1

（I）函数f（x）=alnx的定义域为（0，+∞），f′(x)＝

a

x

，g′（x）=

1

2 x

．
设曲线y=f（x）与曲线g（x）=

x

交点（x₀，y₀），
由于在交点处有共同的切线，∴

a

x0

＝

1

2 x0

，解得x0＝4a2，a＞0．
由f（x₀）=g（x₀）可得alnx0＝

x0

．
联立

x0＝4a2 alnx0＝ x0

，解得a＝

e

2

．
（II）对任意x∈[1，e]，都有f（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，
化为a（x-lnx）≤x²-2x．（*）．
令h（x）=x-lnx，h′(x)＝1?

1

x

＝

x?1

x

，
∵x∈[1，e]，∴h′（x）≥0，
∴函数h（x）单调递增，
∴h（x）≥h（1）=1．
∴（*）可化为a≤

x2?2x

x?lnx

，x∈[1，e]．
令F（x）=

x2?2x

x?lnx

．F′（x）=

(x?1)[x+2(1?lnx)]

(x?lnx)2

．
∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，2（1-lnx）＞0，
∴当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，
∴函数F（x）在x∈[1，e]上单调递增，
∴F（x）≥F（1）=

1?2

1?0

=-1，
∴a≤-1．
（III）在（I）的条件下f（x）=

e

2

lnx．
要证明xf（x）＞

xe1?x

2

-1．即证明exlnx＞xe^1-x-2．
令H（x）=exlnx，可得H′（x）=e+elnx=e（1+lnx），
令H′（x）＞0，解得x∈(

1

e

，+∞)，此时函数H（x）单调递增；
令H′（x）＜0，解得x∈(0，

1

e

)，此时函数H（x）单调递减．
∴当x=

1

e

时，函数H（x）取得极小值即最小值，H(

1

e

)=-1．
令G（x）=xe^1-x-2，可得G′（x）=（1-x）e^1-x，
令G′（x）＞0，解得0＜x＜1，此时函数H（x）单调递增；
令G′（x）＜0，解得x＞1，此时函数G（x）单调递减．
∴当x=1时，函数G（x）取得极大值即最大值，G（1）=-1．
∴H（x）＞G（x），因此xf（x）＞

xe1?x

2

-1．