Question

已知I为△ABC的内心,AI的延长线交BC于E,交外接圆于D.(1)求证:BD=DI=CD

（2）若DE=3，AE=6，求DI的长

Answer 1

1、∵I是内心
那么AD平分∠BAC，BI平分∠ABC
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠BCI
那么弧BD=弧CD
∴BD=CD
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD，
∴∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠BAD+∠ABI
∠DIB=∠ABI+∠BAD
∴∠DBI=∠DIB
那么BD=DI=CD
2、∵∠ECD＝∠EAC、∠CED＝∠AEC，
∴△ECD∽△EAC，
∴EC/AE＝ED/EC，而IE＝EC，
∴IE/AE＝ED/IE，
∴IE平方＝ED·AE=3×6=18
IE=3√2
∴DI=DE+IE=3+3√2