Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F。

如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F。（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；（2）连接OE、ED、DF、EF，若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）连接OD，设⊙O的半径为r， ∵BC切⊙O于点D， ∴OD⊥BC， ∵∠C=90°， ∴OD∥AC， ∴△OBD∽△ABC， ∴ ， 即 ， 解得r= ， ∴⊙O的半径为 ； （2）四边形OFDE是菱形， ∵四边形BDEF是平行四边形， ∴∠DEF=∠B， ∵∠DEF= ∠DOB， ∴∠B= ∠DOB， ∵∠ODB=90°， ∴∠DOB+∠B=90°， ∴∠DOB=60°， ∵DE∥AB， ∴∠ODE=60°， ∵OD=OE， ∴△ODE是等边三角形， ∴OD=DE， ∵OD=OF， ∴DE=OF， ∴四边形OFDE是平行四边形， ∵OE=OF， ∴平行四边形OFDE是菱形。