已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）（1）当a=12时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）（1）当a=12时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D...
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）（1）当a=12时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数f1（x）=（a-12）x2+2ax+（1-a2）lnx，f2（x）=12x2+2ax．①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；②当a=23时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．
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（1）当a＝
时，f(x)＝
x2+lnx，f′(x)＝x+
＝
；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴fmax(x)＝f(e)＝1+
，fmin(x)＝f( 1 )＝
．
（2）①在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）
令p(x)＝f(x)?f2(x)＝(a?
)x2?2ax+lnx＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x）-f（x）=?
x2+2ax?a2lnx＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵p′(x)＝(2a?1)x?2a+
＝
＝
1）若a＞
，令p′（x）=0，得极值点x1=1，x2＝
，
当x2＞x1=1，即
＜a＜1时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
2）若a≤
，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足p(1)＝?a?
≤0?a≥?
，
所以?
≤a≤
．
又因为h′（x）=-x+2a-
=
＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x |
| x2+1 |
| x |
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴fmax(x)＝f(e)＝1+
| e2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）①在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）
令p(x)＝f(x)?f2(x)＝(a?
| 1 |
| 2 |
且h（x）=f1（x）-f（x）=?
| 1 |
| 2 |
∵p′(x)＝(2a?1)x?2a+
| 1 |
| x |
| (2a?1)x2?2ax+1 |
| x |
| (x?1)[(2a?1)x?1] |
| x |
1）若a＞
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2a?1 |
当x2＞x1=1，即
| 1 |
| 2 |
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
2）若a≤
| 1 |
| 2 |
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足p(1)＝?a?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又因为h′（x）=-x+2a-
| a2 |
| x |
| ?x2+2ax?a2 |
| x |
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