Question

设函数f（x）具有二阶导数，并满足f（x）=-f（-x），且f（x）=f（x+1）．若f′（1）＞0，则（　　）A．f

设函数f（x）具有二阶导数，并满足f（x）=-f（-x），且f（x）=f（x+1）．若f′（1）＞0，则（　　）A．f″（-5）≤f′（-5）≤f（-5）B．f（5）=f″（-5）＜f′（-5）C．f′（-5）≤f（-5）≤f″（-5）D．f（-5）＜f′（-5）=f″（-5）

Answer 1

由f（x）=f（x+1）知，
f（x）是周期为1的周期函数，而可导的周期函数的导函数仍为周期函数，
因而f'（x），f''（x）均是周期为1的周期函数．
又f（x）为奇函数，
故   0=f（0）=f（-1）=f（-2）=…=f（-5），
f'（1）=f'（0）=f'（-1）=f'（-2）=…=f'（-5）＞0，
且    f''（0）=f''（-1）=f''（-2）=…=f''（-5）．
又因 f'（x）为偶函数，f''（x）为奇函数，
故f''（0）=0，因此f''（5）=0，
于是有   f（5）=f''（-5）＜f'（-5）．
故选：（B）．