Question

已知函数f（x）=ax2-2x+1．（1）当x∈[1，2]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）

已知函数f（x）=ax2-2x+1．（1）当x∈[1，2]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）=|f（x）|（a≥0）在[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当x∈[1，2]时，a^x-2x+1＞0恒成立，
所以当x∈[1，2]时，a＞-

1

x2

+

2

x

=-(

1

x

?1)2+1 恒成立，又-(

1

x

?1)2+1在x∈[1，2]上的最大值为1，所以a＞1．
（2）当a=0时，g（x）=2|2x-1|在[1，2]时上是增函数；
当a＞0时，g（x）=|a（x-

1

a

）²+1-

1

a

|
①若1?

1

a

≥0，即≥1时，

1

a

≤1，g（x）=|a（x-

1

a

）²+1|在[1，2]上是增函数；
②若1-

1

a

，即0＜a＜1时，设方程f（x）=0的两根为x₁ x₂且x₁＞x₂，此时g（x）
在[x₁，

1

a

]和[x₂，+∞）上是增函数，
1°若[1，2]?[x₁，

1

a

]，则

1 a ≥2 f(1)＝a?1≤0

，解得0＜a≤

1

2

；
 2°若[1，2]?[x₂，+∞）则

1 a ＜1 f(1)＝a?1≥0

得a＞1，无解；
综上所述0≤a≤

1

2

或a≥1．