Question

如图所示，AD是⊙O的直径，AB、CD与⊙O相切于点A和点D．（1）若BC也与⊙O相切，求证：OB⊥OC；（2）若OB

如图所示，AD是⊙O的直径，AB、CD与⊙O相切于点A和点D．（1）若BC也与⊙O相切，求证：OB⊥OC；（2）若OB⊥OC，求证：BC也与⊙O相切；（3）在（1）的条件下，若AD=12cm，设AB=x，CD=y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

解答：（1）证明：如图1，
∵AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切，
∴AB，BC，CD均与半圆O相切，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=180°．
∴∠2+∠4=90°，
∴∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-90°=90°，
即OB⊥OC；

（2）证明：如图2，过点O作OE⊥CD于E．
∵S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）?AD=（AB+CD）?OA=2（

1

2

AB?OA+

1

2

CD?OD）=2（S_△OAB+S_△OCD），
且S_梯形ABCD=S_△OAB+S_△OCD+S_△OBC，
∴S_△OBC=S_△OAB+S_△OCD，且OA=OD，
∴

1

2

BE?OE+

1

2

CE?OE=

1

2

AB?OA+

1

2

CD?OA=

1

2

（AB+CD）?OA=

1

2

BC?OE，
又∵AB+CD=BC，
∴OA=OE，
∴E点在以AD为直径的⊙O上，又OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，即BC与⊙O相切；

（3）解：如图1，过点B作BF⊥CD于F，设BC与圆O的切点是点E，连接OE．则四边形ABFD是矩形．
∵AB、CD、BC均与圆O相切，
∴AB=BE=x，CE=CD=y，
∴在直角△BFC中，BC²=FC²+BF²，即（x+y）²=（y-x）²+12²，
∴y=

38

x

，即y与x的函数关系式是y=

38

x

．