Question

已知数列{an}中，a1=1且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若

已知数列{an}中，a1=1且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若函数f（n）=1n+a1+2n+a2+3n+a3+…+nn+an（n∈N，且n≥2）求函数f（n）的最小值；（3）设bn=1an，Sn表示数列{bn}的前项和．试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）?g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）由题意得，点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，
所以a_n-a_n+1+1=0，即a_n+1-a_n=1，
则数列{a_n}是以为首项、公差的等差数列，
所以a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）得，f（n）=

1

n+a1

+

2

n+a2

+

3

n+a3

+…+

n

n+an

=

1

n+1

+

2

n+2

+…+

n

2n

，
则f（n+1）=

1

n+2

+

2

n+3

+…+

n?1

2n

+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，
所以f（n+1）-f（n）=-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

）+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

f（n+1）-f（n）＞0
∴f（n）是增函数，
故f（n）的最小值是f（2）=

5

6

．
（3）∵b_n=

1

n

，∴S_n=1++

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
即nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，∴（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=S_n-2+1，…，S₂-S₁=S₁+1．
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）．n，（n≥2），
故存在关于n的整式g（n）=n，使等式对于一切小于2的自然数n恒成立．