Question

已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4求四边形ABCD的面积

已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4求四边形ABCD的面积．

Answer 1

解：如图：连接BD，则有四边形ABCD的面积，
S＝S△ABD+S△CDB＝

1

2

AB?ADsinA+

1

2

BC?CDsinC．
∵A+C=180°，∴sinA=sinC．
∴S ＝

1

2

(AB?AD+BC?CD)sinA=

1

2

(2×4+6×4)sinA＝16sinA．
由余弦定理，在△ABD中，
BD²=AB²+AD²-2AB?ADcosA=2²+4²-2×2×4cosA=20-16cosA，
在△CDB中  BD²=CB²+CD²-2CB?CDcosC=6²+4²-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
∵cosC=-cosA，
∴64cosA=-32，cosA＝?

1

2

，
∴A=120°，
∴S＝16sin120°＝8

3

．
故答案为8

3

．

Answer 2

连接BD
6^2+4^2-2*4*6*Cos(C)=2^2+4^2-2*2*4*Cos(π-C)
∴cosC=0.5,C=60
A=120
四边形面积S=0.5*6*4*sin60+0.5*4*2*sin120=4√3