Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）上有一点Q（4，m）到焦点F的距离为5，（1）求p及m的值．（2）过焦点F的直线L交

已知抛物线y2=2px（p＞0）上有一点Q（4，m）到焦点F的距离为5，（1）求p及m的值．（2）过焦点F的直线L交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，求直线L的方程．

Answer 1

（1）由题意知|FQ|＝4+

p

2

＝5，∴p=2．∵m²=2×2×4，∴m=±4
（2）由题意知直线L的斜率存在，设为k，则直线L的方程为：y=k（x-1），代入抛物线方程：y²=4x，得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x1+x2＝

2k2+4

k2

，x1x2＝1；
又∵|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=8，|AB|＝

1+12

(x1+x2)2?4x1x2

＝8∴

1

k4

+

1

k2

?2＝0∴k2＝1∴k＝±1；
∴所求直线方程为：x-y-1=0或x+y-1=0．