Question

已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0表示一个圆．（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的

已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0表示一个圆．（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围；（3）求圆心的轨迹方程．

Answer 1

（1）∵方程表示圆，
∴D²+E²-4F=4（m+3）²+4（1-4m²）²-4（16m⁴+9）=4（-7m²+6m+1）＞0，
∴-7m²+6m+1＞0
∴-

1

7

＜m＜1．（5分）
（2）r=

1

2

4(?7m2+6m+1)

=

?7(m? 3 7 )2+ 16 7

∵-

1

7

＜m＜1
∴0＜r≤

4 7

7

．（5分）
（3）设圆心坐标为（x，y），则

x＝m+3① y＝4m2?1②

，
由①得m=x-3，代入②消去m得，y=4（x-3）²-1．
∵-

1

7

＜m＜1，∴

20

7

＜x＜4，即轨迹为抛物线的一段，
∴圆心的轨迹方程为y=4（x-3）²-1（

20

7

＜x＜4）．（5分）