Question

已知函数f（x）=x2-3x+alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）设函数f（x）图

已知函数f（x）=x2-3x+alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）设函数f（x）图象上任意一点的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．

Answer 1

（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，
f′(x)＝2x?3+

1

x

＝

2x2?3x+1

x

．
由2x²-3x+1=0，得x1＝1，x2＝

1

2

，
由2x²-3x+1＞0，得x＜

1

2

，或x＞1，∴f（x）的单调递增区间为(0，

1

2

)，（1，+∞）．
由2x²-3x+1＜0，得

1

2

＜x＜1，∴f（x）的单调递减区间为(

1

2

，1)．
∴f（x）极大值为f(

1

2

)＝?

5

4

?ln2；极小值为f（1）=-2；
（II）由题意知f′(x)＝2x?3+

a

x

≥2

2a

?3＝1，∴a=2．
此时2x＝

a

x

，即2x＝

2

x

，∴x=1，∴切点为（1，-2），
∴此时的切线l方程为：x-y-3=0．