已知函数f(x)＝2xx+1(x＞0)（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数；（2）设g（x）=log2f（x）
已知函数f(x)＝2xx+1(x＞0)（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数；（2）设g（x）=log2f（x），求g（x）的值域；（3）对于（2）中函数g...
已知函数f(x)＝2xx+1(x＞0)（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数；（2）设g（x）=log2f（x），求g（x）的值域；（3）对于（2）中函数g（x），若关于x的方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，求m的取值范围．
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（1）证明：f(x)＝
＝2?
，
设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2，…（2分）
则f(x1)?f(x2)＝(2?
)?(2?
)＝?
+
＝
…（4分）
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，∴
＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，…（6分）
（2）解：f(x)＝
＝2?
，
因为x＞0，所以x+1＞1，所以0＜
＜2，即0＜f（x）＜2…（8分）
又因为x＞0时，f（x）单调递增，y=log2t单调递增，
所以y=log2f（x）单调递增，所以g（x）值域为（-∞，1）…（10分）
（3）解：由（2）可知y=|g（x）|大致图象如图所示，
设|g（x）|=t，则|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，
设h（t）=t2+mt+2m+3…（12分）
①当有一个根为1时，h（1）=12+m+2m+3=0，m＝?
，此时另一根为
适合题意； …（13分）
②当没有根为1时，
，得
| 2x |
| x+1 |
| 2 |
| x+1 |
设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2，…（2分）
则f(x1)?f(x2)＝(2?
| 2 |
| x1+1 |
| 2 |
| x2+1 |
| 2 |
| x1+1 |
| 2 |
| x2+1 |
| 2(x1?x2) |
| (x1+1)(x2+1) |
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，∴
| 2(x1?x2) |
| (x1+1)(x2+1) |
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，…（6分）
（2）解：f(x)＝
| 2x |
| x+1 |
| 2 |
| x+1 |
因为x＞0，所以x+1＞1，所以0＜
| 2 |
| x+1 |
又因为x＞0时，f（x）单调递增，y=log2t单调递增，
所以y=log2f（x）单调递增，所以g（x）值域为（-∞，1）…（10分）
（3）解：由（2）可知y=|g（x）|大致图象如图所示，
设|g（x）|=t，则|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，
设h（t）=t2+mt+2m+3…（12分）
①当有一个根为1时，h（1）=12+m+2m+3=0，m＝?
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
②当没有根为1时，
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