设f（x）为[-a，a]上的连续的偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫a?a|x-t|f（t）dt．（Ⅰ）证明：F′（x）单
设f（x）为[-a，a]上的连续的偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫a?a|x-t|f（t）dt．（Ⅰ）证明：F′（x）单调增加．（Ⅱ）当x取何值时，F（x）取最小值？...
设f（x）为[-a，a]上的连续的偶函数且f（x）＞0，令F（x）=∫a?a|x-t|f（t）dt．（Ⅰ）证明：F′（x）单调增加．（Ⅱ）当x取何值时，F（x）取最小值？（Ⅲ）当F（x）的最小值为f（a）-a2-1时，求函数f（x）．
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（Ⅰ）∵F（x）=
(x?t)f(t)dt+
(t?x)f(t)dt
=x
f(t)dt?
tf(t)dt+
tf(t)dt-x
f(t)dt
∴F′(x)＝
f(t)dt+xf(x)?xf(x)?xf(x)?
f(t)dt+xf(x)
=
f(t)dt?
f(t)dt
∴F″（x）=f（x）+f（x）=2f（x）＞0，
∴F'（x）为单调增加的函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F″（x）＞0，因而F（x）是一个凹函数
由凹函数的性质，知F（x）的最小值点会在F′（x）=0点取到
又f（x）为偶函数
∴F′(0)＝
f(x)dx?
f(x)dx＝?
f(?t)dt?
f(x)dx=
f(x)dx?
f(x)dx＝0
∴x=0为F'（x）的唯一极小点，也为最小点．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（x）最小值为F(0)＝
|t|f(t)dt＝2
tf(t)dt
∴2
tf(t)dt＝f(a)?a2?1
两边求导得
2af（a）=f'（a）-2a，
于是f'（x）-2xf（x）=2x，
这是一阶非齐次线性微分方程，且P（x）=-2x，Q（x）=2x
∴f(x)＝e∫2xdx(∫2xe?∫2xdx+C)＝Cex2?1
又由2
tf(t)dt＝f(a)?a2?1，令a=0，得
f（0）=1
因此C=2
∴f(x)＝2ex2?1．
| ∫ | x ?a |
| ∫ | a x |
=x
| ∫ | x ?a |
| ∫ | x ?a |
| ∫ | a x |
| ∫ | a x |
∴F′(x)＝
| ∫ | x ?a |
| ∫ | a x |
=
| ∫ | x ?a |
| ∫ | a x |
∴F″（x）=f（x）+f（x）=2f（x）＞0，
∴F'（x）为单调增加的函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F″（x）＞0，因而F（x）是一个凹函数
由凹函数的性质，知F（x）的最小值点会在F′（x）=0点取到
又f（x）为偶函数
∴F′(0)＝
| ∫ | 0 ?a |
| ∫ | a 0 |
| ∫ | 0 a |
| ∫ | a 0 |
| ∫ | a 0 |
| ∫ | a 0 |
∴x=0为F'（x）的唯一极小点，也为最小点．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（x）最小值为F(0)＝
| ∫ | a ?a |
| ∫ | a 0 |
∴2
| ∫ | a 0 |
两边求导得
2af（a）=f'（a）-2a，
于是f'（x）-2xf（x）=2x，
这是一阶非齐次线性微分方程，且P（x）=-2x，Q（x）=2x
∴f(x)＝e∫2xdx(∫2xe?∫2xdx+C)＝Cex2?1
又由2
| ∫ | a 0 |
f（0）=1
因此C=2
∴f(x)＝2ex2?1．
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