Question

已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求证：{an2n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}

已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求证：{an2n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∴{

an

2n

}是等差数列．
（Ⅱ）解：∵数列{a_n}满足a₁=1，
∴

a1

21

=

1

2

，
由（Ⅰ）知：{

an

2n

}是等差数列．
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)=n-

1

2

．
∴an=(2n-1)2n-1．
（Ⅲ）解：由an=(2n-1)2n-1得：
S_n=1?2⁰+3?2¹+5?2²+…+（2n-1）2^n-1，…①
2S_n=1?2¹+3?2²+5?2³+…+（2n-1）2ⁿ，…②
将①-②得：-S_n=1+2?2¹+2?2²+2?2³+…+2?2^n-1-（2n-1）?2ⁿ，
即：-S_n=1+（2?2¹+2?2²+2?2³+…+2?2^n-1）-（2n-1）?2ⁿ，
=1+

22(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）?2ⁿ，
=-3+（3-2n）?2ⁿ，
∴S_n=（2n-3）?2ⁿ+3．