Question

对于函数 f（x），若存在x0∈R，使 f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的“滞点”．已知函数f （ x ）=x22x?

对于函数 f（x），若存在x0∈R，使 f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的“滞点”．已知函数f （ x ）=x22x?2．（I）试问f（x）有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；（II）已知数列{an}的各项均为负数，且满足4Sn?f(1an)＝1，求数列{an}的通项公式；（III）已知bn=an?2n，求{bn}的前项和Tn．

Answer 1

（I）由f(x)＝

x2

2(x?1)

，
令f（x）=x，…（2分）
得x²-2x=0，解得x=0，或x=2．
即f（x）存在两个滞点0和2．…（4分）
（II）由题得4Sn?(

1

an

)2＝2(

1

an

?1)，
∴2S_n=a_n-a_n²…①…（5分）
故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²…②
由②-①得2a_n+1=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0，
∵a_n＜0，
∴a_n+1-a_n=-1，
即{a_n}是等差数列，且d=-1…（9分）
当n=1时，由2S₁=a₁-a₁²=2a₁得a₁=-1
∴a_n=-n…（11分）
（III）∵T_n=-1?2-2?2²-3?2³-…-n?2ⁿ…③
∴2T_n=-1?2²-2?2³-3?2⁴-…-（n-1）?2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹…④
由④-③得T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1＝2n+1?2?n?2n+1…（14分）