Question

已知动点P到直线l：x+4=0的距离与它到点M（2，0）的距离之差为2，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方

已知动点P到直线l：x+4=0的距离与它到点M（2，0）的距离之差为2，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）问直线l上是否存在点Q，使得过点Q且斜率分别为k1，k2的两直线与曲线C相切，同时满足k1+2k2=0，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）根据抛物线定义，曲线C是以（2，0）为焦点，x=-2为准线的抛物线，
∴p=4，
∴曲线C的方程为y²=8x．
（Ⅱ）设Q（-4，y₀），过Q与C相切的直线设为y-y₀=k（x+4），k≠0，
联立

y2＝8x y?y0＝k(x+4)

，得ky²-8y+8y₀+32k=0，
∵直线与曲线C相切，
∴△=64-4k（8y₀+32k）=0，∴4k²+y₀k-2=0，
∴

k1+k2＝? y0 4 k1k2＝? 1 2

，
∵k₁，k₂是两切线的斜率，且满足k₁+2k₂=0，
∴k₁=-

y0

2

，k2＝

y0

4

，又∵k1k2＝?

1

2

，∴y₀=±2，
∴存在点Q（-4，2）和（-4，-2），使得过点Q的两直线与曲线C相切，且满足k₁+2k₂=0．