（2014?上城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在
（2014?上城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，有点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂...
（2014?上城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，有点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别于直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值1．（1）求∠OAB的度数；（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
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解答：
（1）解：∵直线y=-x+
与x轴，y轴分别交于点A，点B，
∴OA=OB=
，
∴∠OAB=45°；
（2）证明：如图，过点F作FD⊥x轴于点D．则易知AF=
b，BE=
a，
∴AF?BE=2ab=2
∵OA=OB=
，
∴∠FAO=∠EBO；
∵AF?BE=2；
又∵OA?OB=2，
∴
=
，
∴△AOF∽△BEO；
（3）解：∵四边形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．
∵E点的横坐标为a，E（a，
-a），
∴AM=EM=
-a，
∴AE2=2（
-a）2=2a2-4
a+4．
∵F的纵坐标为b，F（
-b，b）
∴BN=FN=
-b，
∴BF2=2（
-b）2=2b2-4
b+4．
∴PF=PE=a+b-2，
∴EF2=2（a+b-2）2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF2=2a2+2b2-8a-8b+16
∴EF2=AE2+BF2．
∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为：
S1=
EF2=
?2（a+b-2）2=
（a+b-2）2．
∵S梯形OMPF=
（PF+ON）?PM，S△PEF=
PF?PE，S△OME=
OM?EM，
∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME
=
（PF+ON）?PM-
PF?PE-
OM?EM
=
[PF（PM-PE）+OM（PM-EM）]
=
（PF?EM+OM?PE）
=
PE（EM+OM）
=
（a+b-2）（2-a+a）
=a+b-2．
∴S1+S2=
（a+b-2）2+a+b-2．
设m=a+b-2，则S1+S2=
m2+m=
（m+
）2-
，
∵面积不可能为负数，
∴当m＞-
时，S1+S2随m的增大而增大．
当m最小时，S1+S2最小．
∵m=a+b-2=a+
-2=（
-
（1）解：∵直线y=-x+| 2 |
∴OA=OB=
| 2 |
∴∠OAB=45°；
（2）证明：如图，过点F作FD⊥x轴于点D．则易知AF=
| 2 |
| 2 |
∴AF?BE=2ab=2
∵OA=OB=
| 2 |
∴∠FAO=∠EBO；
∵AF?BE=2；
又∵OA?OB=2，
∴
| AF |
| OB |
| OA |
| BE |
∴△AOF∽△BEO；
（3）解：∵四边形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．
∵E点的横坐标为a，E（a，
| 2 |
∴AM=EM=
| 2 |
∴AE2=2（
| 2 |
| 2 |
∵F的纵坐标为b，F（
| 2 |
∴BN=FN=
| 2 |
∴BF2=2（
| 2 |
| 2 |
∴PF=PE=a+b-2，
∴EF2=2（a+b-2）2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF2=2a2+2b2-8a-8b+16
∴EF2=AE2+BF2．
∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为：
S1=
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∵S梯形OMPF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=a+b-2．
∴S1+S2=
| π |
| 2 |
设m=a+b-2，则S1+S2=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 1 |
| π |
| 1 |
| 2π |
∵面积不可能为负数，
∴当m＞-
| 1 |
| π |
当m最小时，S1+S2最小．
∵m=a+b-2=a+
| 2 |
| a |
| a |
