Question

已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上

已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE=45°，AC与DE交于点O． （1）求证：△ADE∽△ACB；（2）设CD=x， BAE = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．

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Answer 1

(1)略；（2）y=  ，定义域0＜x＜2；（3）当CD= 时，△COD与△BEA相似．

试题分析： (1)根据等腰三角形的性质，得出角相等，然后角的等量代换，得出其余角相等，即可证明三角形相似； 由（1）的结论可以得到线段成比例，解直角三角形即可求出函数解析式，并确定定义域； 先由相似得出线段比例关系，设未知数解方程即可. 试题解析： （1）证明：∵△ACB是等腰直角三角形 ∴∠CAB＝∠B=45° ∵CP//AB ∴∠DCA＝∠CAB=45° ∴∠DCA＝∠B ∵∠DAE=45° ∴∠DAC+∠CAE=∠CAE+∠EAB ∴∠DAC=∠EAB ∴△DCA∽△EAB ∴ 即 且∠DAE=∠CAB=45° ∴△ADE∽△ACB． （2）过点E作EH⊥AB于点H 由（1）得△DCA∽△EAB ∴ ∵△ACB是等腰直角三角形，且CD=x ∴EB= x ∴EH=BH=x ∴AH=4—x 在Rt△AEH中， BAE= 即y= 定义域0＜x＜2． （3）若△COD与△BEA相似，又△BEA与相似△DCA 即△COD与△DCA相似 ∴只有△DCO∽△ACD ∴ ∵∠DAO＝∠CEO ∴∠CEO＝∠EAB ∴tan∠CEO＝y 即 ∴ ∴ 解得 ， 经检验 都是原方程的实数根， 不合题意舍去 ∴当CD= 时，△COD与△BEA相似．