(2014?闸北区一模)已知:如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,斜边AB的长为4,过点C作射线CP∥AB,D为射线

(2014?闸北区一模)已知:如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,斜边AB的长为4,过点C作射线CP∥AB,D为射线CP上一点,E在边BC上(不与B、C重合),且∠D... (2014?闸北区一模)已知:如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,斜边AB的长为4,过点C作射线CP∥AB,D为射线CP上一点,E在边BC上(不与B、C重合),且∠DAE=45°,AC与DE交于点O.(1)求证:△ADE∽△ACB;(2)设CD=x,tan∠BAE=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)如果△COD与△BEA相似,求CD的值. 展开
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解答:(1)证明:由题意可知∠CAD+∠CAE=∠CAE+∠BAE=45°,
∴∠CAD=∠BAE;
∵CP∥AB,∴∠ACD=∠CAE=∠B=45°.
∴△ACD∽△ABE,
AD
AE
AC
AB
,即
AD
AC
AE
AB

又∵∠DAE=∠CAB=45°,
∴△ADE∽△ACB.

(2)解:∵等腰直角△ABC中,斜边AB的长为4,
∴AC=BC=2
2

如答图1,过点D作DF⊥AC于点F,则△DCF为等腰直角三角形,
∴DF=CF=
2
2
CD=
2
2
x,
∴AF=AC-CF=2
2
-
2
2
x,
∴tan∠CAD=
DF
AF
=
2
2
x
2
2
?
2
2
x
=
x
4?x


由(1)知,∠BAE=∠CAD,∴tan∠BAE=tan∠CAD,
∴y=
x
4?x
,定义域0<x<2.

(3)解:在△COD与△BEA中,∠DCO=∠B=45°,∠DOC与∠AEB均为钝角,
∴如果△COD与△BEA相似,只能是△COD∽△BEA,∴∠1=∠2.
∵∠AEC=∠AED+∠3=45°+∠3,∠AEC=∠B+∠2=45°+∠2,
∴∠3=∠2,
∴∠1=∠2=∠3,∴CE=CD.
∵CP∥AB,∴∠DCE+∠B=180°,∴∠DCE=180°-∠B=135°,
∴∠1=∠2=∠3=
1
2
(180°-∠DCE)=22.5°,
∴∠2=
1
2
∠CAB,即AE为角平分线.

如答图2,过点E作EG⊥AB于点G,则EG=CE,且△BEG为等腰直角三角形.
∴EG=BG=CE=CD,BE=
2
EG=
2
CD.
∴BC=CE+BE=CD+
2
CD=2
2

∴CD=4-2
2
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