Question

已知:如图△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线.过点M作CM的垂线与AC和CB的延

已知:如图△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线。过点M作CM的垂线与AC和CB的延长线分别交于点D和点E，如果DM/MC=AM/ME。求证CM⊥DE

Answer 1

阁下是不是把最后的结论也放到条件中了？
如图△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线（以上条件不变）

①若CM⊥DE为条件，求证：DM/MC=AM/ME。理由如下：
RT△DCE中，∵∠DCE=90°, CM⊥DE
∴CM²=DM*ME（射影定理）
即DM/MC=MC/ME
又∵M是AB中点，
∴CM=AB/2=AM（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴DM/MC=AM/ME

②若DM/MC=AM/ME为条件，求证CM⊥DE.。理由如下：
∵DM/MC=AM/ME，CM=AM=BM，
∴DM/BM=AM/ME，又∵∠AMD=∠BME，
∴△ADM∽△BEM，
∴∠A=∠E，
又∵∠A=∠ACM，∴∠E=∠ACM，
又∵∠ACM+∠ECM=90°，
∴∠E+∠ECM=90°，
∴CM⊥DB